第104章 指點（第一更3k求訂閱月票~）
「會微積分，和會用微積分，是兩個不同的概念。」
看著《工程控制論》上的字跡，韓川下意識地坐直了身體。
不得不說，這個問題他以前從來沒有認真地思考過。
在純數學框架里，初始條件就是給定的，不需要質疑。
但在工程實踐里，每一個初始條件都來自傳感器、來自測量、來自帶有誤差的觀測數據。
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它的背後其實是一整個充滿噪聲和誤差的現實物理世界。
《工程控制論》的教材上，錢老的字跡像是感覺到了他的疑惑，筆鋒微微頓了頓，換了一種更耐心的語氣繼續寫下去。
「真正的微積分，不是數學公式，也不是什麼計算技巧，而是一種認識世界的思維方式。」
「它教你如何把一個連續變化的過程切成無限小的片段來理解，然後再把這些片段拼回去，得出一個整體性的判斷。」
「它教你如何在面對一個複雜的、不完美的、充滿噪聲的現實系統時，依然能用數學的語言找到它內在的規律。」
「很多人學到微積分就停在了能算」這一步。他們會求導，會積分，會解微分方程，但一離開草稿紙就茫然無措，難以對現實的難題進行處理。」
「而真要說，微積分和所有的數學公式，最大的用處並不在草稿紙上你寫出來的那些算式中。真正重要的是在你心裡，在你怎麼用它們去解決更實際的問題。」
「你面對一個真實的工程問題時，還能夠熟練地用它們去解決。」
看著教材上錢老的字跡，韓川又低頭看著稿紙上那些被劃掉的推導，思索著開口道。
「那我應該怎麼做？」
《工程控制論》的教材上，字跡浮現，筆鋒裡帶著一絲幾不可察的笑意，耐心地解釋道。
「你要學會把方程放到真實世界去。」
「比如風在吹，溫度在變，傳感器有噪聲，執行機構有延遲，人還會操作失誤。」
「這些干擾性的東西加在一起，你的精確解還有用嗎？它還能不能描述真實系統的行為？」
「如果不能，你要怎麼辦？是假裝這些亂七八糟的東西不存在，還是回過頭去重新思考你的模型本身？」
「比如你剛才說咱們的飛彈打到了九千公里外，那你知道九千公里外意味著什麼
嗎？」
停頓了一下，教材上字跡繼續說道：「九千公里，這意味著飛彈在飛行過程中要經歷幾十種不同的氣象條件！」
「從地面到高空，溫度從幾十度降到零下幾十度，氣壓從標準大氣壓降到幾平真空，還要經歷高空風的剪切、大氣密度的劇烈變化。」
「在這種條件下，沒有任何一個數學模型能精確描述飛彈的完整飛行軌跡。」
「即便是你能算出一個誤差小於萬分之一的彈道解，但你要是真照著那個解去飛，飛不到一半就不知道偏到哪裡去了。」
「如果有哪個數學家跟你說他能用一套微分方程精確求解飛彈的彈道，你可以直接告訴他你不懂工程！」
聞言，韓川思索著有些好奇地問道：「那錢老您是怎麼解決這些問題的？」
「反饋！」
《工程控制論》教材上，字跡的回答簡潔而有力「不要把所有的希望都押在事前計算上！」
「事前的數據計算只能給你一個參考，作為一個基準。」
「真正的穩定，靠的是反饋，系統在飛行過程中不斷測量自己的實際狀態，不斷和預期的狀態做比較，不斷根據偏差進行調整。」
「這就是我寫的這本《工程控制論》的核心思想。」
「消滅所有的不確定性是不可能的，管理不確定性才是正確的做法。」
「在進行一個工程或者一個研究的時候，不要去追求完美的事前模型，而是去建立一個能容錯、能自校正、能在各種意外情況下繼續運行的反饋系統。」
說到這，字跡停頓了一下，緊接著帶著一些笑意繼續道：「我剛剛在教材裡面看了你十幾分鐘，你在數學上的底子還是很不錯的。」
「尤其是在數學分析和解析數論這兩塊，已經初步具備了自己的思想了。」
「但現在的你掌握的更多的是純粹數學領域的知識，這一塊我教不了你太多。」
「不過我可以教導你怎麼將它們應用起來。」
「就像你研究的三角和估計，它可以用於分析和設計具有優良相關特性的序列，這在雷達、聲納和通信系統中至關重要。」
「它能幫助工程師理解和預測序列在複雜環境中的性能，是解決干擾、噪聲、多用戶等問題的關鍵工具。」
「就看你想不想學了。」
看著《工程控制論》上的字跡，韓川不假思索地用力點了點頭，開口道：「當然！」
這兩個字脫口而出的時候，遠處一個正在埋頭看書的學長抬起頭朝這邊望了一眼。
韓川這才意識到自己的聲音在安靜的閱覽區裡有多響，向學長投去一個抱歉」的眼神後，他將話語控制在心中繼續和錢老先生交流。
「其實不瞞您說，我之所以翻開這本《工程控制論》，是因為我接下來要參加全國大學生數學建模競賽。」
「今年的競賽題目，可能會涉及到一些偏向國防或重大工程應用的案例。」
教材上，字跡浮現，帶著一絲疑惑：「建模競賽？」
聞言，韓川這才想起國內的建模競賽是跟隨美賽而成立的，而美賽最早成立的時間是1982年，遠超這本書編寫的時間了。
想到這裡，他快速地解釋了一下建模競賽和相關的信息。
「那這是個很好的鍛鍊機會啊。」
《工程控制論》上，錢老的字跡浮現出來，緊接著道：「用數學和計算機語言去解決現實世界的複雜問題，它能很好地鍛鍊你的思維能力。」
「有時候，純粹數學和應用數學就差這麼一個橋樑。」
「加油，小韓，正如你之前所說的，以後咱們會更好！」
「我期待能看到那一天的到來。」
和錢老先生的書靈聊了一會，韓川將注意力重新集中到面前的教材上。
看著面前求解尚未完成的變質量火箭飛行系統」問題，他想了想，有些好奇地看向《工程控制論》，開口問道。
「錢老，在這個問題上您只給出了這個方程的一個近似解，那麼它到底有沒有精確解？」
教材上，一行字跡浮現了出來。
「有！」
「不過對於火箭飛行系統來說，精確解的意義並不是很大。我剛剛和你說過，任何動態的系統都需要通過實時反饋來不斷的調整參數才對。」
韓川點點頭，道：「嗯，我明白，不過我還是想試試能不能將精確解求出來。」
「或許在工程上不需要，但是我覺得現階段我的數學需要。」
《工程控制論》上，錢老的字跡浮現，帶著一些欣慰，道：「在學術上有著自己的想法，這是極為可貴的。」
停頓了一下，他緊接著道：「我在這本書里給出近似解，是想讓工程師們能快速上手，用最少的計算資源得到一個可以指導實踐的參考值。」
「在1958年的條件下，手搖計算機搖一天才能算出幾組數據，追求精確解既不現實也沒必要。」
「但你現在的情況不一樣。」
「你不需要馬上把這個結果用到某個工程項目上去，你有充足的時間去算精確解。」
「更重要的是，你有強烈的求知慾。在這種情況下，花時間去啃一啃精確解，對你理解這個系統的數學結構會有很大幫助。」
「當然，這裡你就自己推導好了，不需要我提點你。」
韓川認真地點了點頭，將目光投向桌上的稿紙，繼續思索著他之前沒有完成的推導。
雖然錢老說不會給他幫助，但其實已經幫助過他了。
最開始出現的時候，那一句你怎麼十七歲了，還沒學會微積分啊？，差不多就給他點明了這個問題的解決方向。
思索著，韓川把非線性項F在局部區間【tk，t{k+1】上的積分單獨提出來，在稿
紙上寫道【E—k = ∫ {t—k}^ {t {k+1}} [F（τ， y（τ）， . . .）− F—lin（τ， y（τ）， . . .）] d τ】
其中Flin是分段線性化近似，E k是近似誤差。
這個誤差項的結構，和他之前處理三角和估計時的餘項估計在本質上極為相似。
兩者都是一個積分區間內的「真實值減去近似值」，都需要在邊界區域進行精細控制o
但在三角和估計中，邊界層是數軸上的固定區間。
而在這個變質量火箭系統中，「邊界層」不是固定的，而是由系統狀態的變化速率決定的動態邊界。
這意味著變係數a—i（t）的變化速率越大，邊界層就越寬；系統狀態越接近失穩臨界點，邊界層的奇性就越強。
換句話說，邊界層本身的形狀和位置是隨系統狀態實時變化的。
這意味著，加權函數ω（τ）的構造不能像之前那樣一勞永逸地確定下來，而必須根據系統狀態的變化進行動態調整。
這也就是錢老剛剛指點他的反饋」！
想著，韓川眼前頓時亮了起來。
或許他明白該怎麼通過動態系統的變化進行調整以求出精確解了！
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